Mitta ja integraali, Kevät 2016

Yleistä

Talven 2016 Mitta ja integraali poikkeaa esitystavaltaan hiukan aiemmista, niin että lopputulos on pikemminkin "Integraali ja mitta". Ensin keskitytään yleiseen integroimisteoriaan, ja otetaan tässä tarvittava mitan käsite annettuna. Vasta lopuksi otetaan kantaa tärkeimmän yksittäisen mitan, eli Lebesguen mitan, olemassaoloon.

Luentopäiväkirja

• ti 19.1.: Kurssi alkoi. Riemannin ja Lebesguen integraalien karkea vertailu. Mitallisen joukon ja mitan käsite yleisessä tilanteessa. Uuden monisteen luvut 1 ja 2.
• to 21.1.: Yksinkertaisen funktion ja ei-negatiivisen funktion integraali. Monotonisen suppenemisen lauseen todistus aloitettiin, mutta jäi kesken (jatkuu ensi kerralla). Uuden monisteen luvut 3 ja 4 (kesken). Melko samaa materiaalia kuin Holopaisen monisteen ss. 44-53. Huom! Monisteessa poikettu hiukan luennolla esitetystä: (1) Yksinkertaisen funktion arvojoukosta tulee sulkea ääretön arvo pois, tai tulee tarpeettomia vaikeuksia myöhemmin. (2) Mitallisuuden määritelmässä on monisteessa aito epäyhtälö. (Tällä ei ole isoa merkitystä, kuten pian huomataan, mutta se hiukan virtaviivaistaa esitystä.)
• ti 26.1.: Monotoninen suppeneminen loppuun. Positiivinen mitallinen funktio kasvavan yksinkertaisten funktioiden jonon raja-arvona. Uuden monisteen luku 4 loppuun.
• to 28.1.: Summan ja integraalin vaihto. Integraali osajoukon yli ja tämän tulkinta mittana. Summan ja tulon mitallisuus. Uuden monisteen luku 5.
• ti 2.2.: Viritetty sigma-algebra ja Borelin sigma-algebra,  muita mitallisuustyökaluja. Uuden monisteen luku 6.
• to 4.2.: Ala- ja yläraja-arvo, Fatoun lemma, dominoitu suppeneminen (versio 1), vaihtuvamerkkisen integroituvan funktion ja integraalin määritelmä. Uuden monisteen lukua 7.
• ti 9.2.: Integraali todettiin hyvin määritellyksi ja todistettiin sen perusominaisuudet. Dominoitu suppeneminen (versio 2). Avaruudesta L¹ ja nollamittaisuudesta. Uuden monisteen luku 7 loppuun ja luku 8.
• to 11.2.: Lebesguen mitan esittely ja Riemannin ja Lebesguen integraalien välinen yhteys. Uuden monisteen luku 9.
• ti 16.2.: Ulkomitan käsite, mittaa vastaava ulkomitta. Aloitettiin ulkomittaa vastaavan mitan rakentaminen (kesken). Uuden monisteen lukua 10.
• to 18.2.: Ulkomittaa vastaavan mitan rakentaminen loppuuun. Lebesguen ulkomitta, Borelin joukkojen Lebesguen-mitallisuus. Uuden monisteen lukua 10 loppuun ja lukua 11.
• ti 23.2.: Lebesguen mitta antaa "oikean" arvon suorakulmioille. Uuden monisteen luku 11 loppuun.
• to 25.2.:  Ei-mitallinen joukko (uuden monisteen luku 12), G-delta ja F-sigma -joukot, Lebesguen mitan yhteys Jordanin mittaan (uuden monisteen luku 13). Fubinin lauseen esittely (Holopaisen monisteen lukua 4).
• Kurssin lopuksi käsitellään integroimisjärjestyksen vaihtoa eli ns. Fubinin lauseita. Käsittely perustuu Holopaisen monisteen viimeiseen lukuun 4 (Fubinin lauseet, ss. 63-71). Nämä eivät tule uuteen monisteeseen.
  
  
  

Ajankohtaista

Sähköinen keskustelualue

Kurssilla on sähköinen keskustelualue Presemossa. Tervetuloa keskustelemaan ja kysymään kaikesta kurssiin liittyvästä!

Opetusajat

Viikot 3-9 ti 12-14 ja to 10-12 CK112. Laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Lisäksi luennoitsija ohjaa opiskelijoita Ratkomossa ma klo 12-13.

Kokeet

Kurssikoe pidetään yleistentissä torstaina 17.3.2016 klo 16.15-19.45. Laitoksen ohjeita kokeisiin osallistujille

 Kokeeseen tulee erikseen ilmoittautua WebOodissa (aiemmin ilmoitetusta poiketen)!

Koealue

• Uusi moniste kokonaan (valmistuu pe 26.2. mennessä).
• Laskuharjoitustehtäväsarjat 1-7 malliratkaisuineen. (Näihin sisältyy oleellista monistetta täydentävää tietoa!)
• Holopaisen monisteen viimeinen luku 4 (Fubinin lauseet, ss. 63-71).
• Holopaisen monisteen esitietoluku 0 (Taustatietojen kertausta ja täydennystä, ss. 2-9). Tämä on enemmänkin kurssin esitietoja kuin varsinaista kurssialuetta, mutta kannattaa kyllä osata.

Kurssimateriaali

Uusi moniste päivittyy kurssin edetessä.

Ensisijainen kurssimateriaali on kuitenkin liitutaulu luentojen aikana. Omien muistiinpanojen tekeminen tai prujaaminen kaverilta on suositeltavaa.

Osittain voidaan seurata vanhoja kurssimonisteita, mutta nämä eivät kokonaan vastaa talven 2016 kurssisisältöä.

• Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali (2004) eli Holopaisen moniste
• Ilkka Holopainen ja Anssi Mirka: Mitta ja integraali (2015) eli Mirkan moniste

Korjauksia kurssimateriaaliin

Uusi moniste on uutuudestaan johtuen kirjoitettu "lukija-aktivoivaan tyyliin" eli saattaa sisältää kirjoitusvirheitä. Niitä korjataan sitä mukaa kuin havaitaan. 

• pe 22.1.: lauseesta 2.4(1) puuttui oletus joukkojen erillisyydestä, lisätty.
• pe 22.1.: lemman 3.2 todistuksessa yksi yhtälö (aputuloksen (3.4) käyttö) korjattu epäyhtälöksi.
• ma 25.1.: lauseen 2.2 todistuksessa De Morganin lain sovelluksessa kaavarivin jälkimmäinen joukko-operaatio on korjattu yhdisteeksi (oli leikkaus).
• ma 25.1: esimerkissä 1.1 Riemannin alasummassa on tietenkin min eikä max!
• to 11.2: lemman 3.2 todistus, kaksi riviä (3.4):n jälkeen: "= tyhjä" korjattu muotoon "ei ole tyhjä" (seuraavaksi valitaan ko. joukosta alkio!)
• t1 23.2.: lauseessa 6.3 pitää kauno-A:n ja kauno-B:n olla P(Y):n osakokoelmia, ei siis P(Omega):n.

Ilmoittaudu kurssille

Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset

Kun harjoitustehtävistä on laskettu P prosenttia, tästä saa kokeeseen L lisäpistettä ns. Holopaisen funktion mukaisesti: L = min{ 6, [(P-15)₊/10] }, missä [ x ] tarkoittaa luvun x alaspäin pyöristystä kokonaisluvuksi ja x₊ = max(x,0).

Harjoitustehtävät

• 1. tehtävät (Esitietoharjoitus, ei pisteitä jaossa. Tule harjoituksiin ihmettelemään, jos tuntuivat vaikeilta.) 1. ratkaisut.
• 2. tehtävät (Saa pisteitä. Käsitellään 27.1. ja 29.1.) 2. ratkaisut
• 3. tehtävät (Saa pisteitä. Käsitellään 3.2. ja 5.2.) 3. ratkaisut
• 4. tehtävät (Saa pisteitä. Käsitellään 10.2. ja 12.2.) 4. ratkaisut
• 5. tehtävät (Saa pisteitä. Käsitellään 17.2. ja 19.2.) 5. ratkaisut
• 6. tehtävät (Saa pisteitä. Käsitellään 24.2. ja 26.2.) 6. ratkaisut
  
  • Korjaus: 2. tehtävässä pitää s:n olla vähintään 0, ei korkeintaan 0, kuten alunperin luki.
• 7. tehtävät (Saa pisteitä. Käsitellään 2.3. ja 4.3.) 7. ratkaisut

Harjoitusryhmät

Palautetta kurssista

Matematiikan ja tilastotieteen laitoksella on käytössä jatkuva palautteen keruu eli voit antaa palautetta missä tahansa kohdassa kurssia. Palautelomakkeeseen pääset täältä.