You are viewing an old version of this page. View the current version.

Compare with Current View Page History

« Previous Version 122 Next »

Todennäköisyyslaskenta II, syksy 2016

 

Vastuuopettaja: Petteri Piiroinen 

Laajuus: 10 op

Tyyppi: Aineopintoja

Opetus: luennot ja laskuharjoitukset

Sisältö: Käsitteet ja tekniikat, joita jokainen tilastotieteilijä tai muu todennäköisyyslaskennan soveltaja tarvitsee. Tavoitteena on oppia laskemaan käsitteiden avulla, Keskeistä sisältöä: todennäköisyys ja ehdollinen todennäköisyys sekä näiden perusuominaisuudet, satunnaismuuttuja sekä sen jakauma, satunnaismuuttujan ja sen muunnoksen odotusarvo, yksiulotteisten jakaumien kvantiilit sekä niiden tavanomaiset tunnusluvut. Sovelluksissa usein esiintyvät yksiulotteiset jakaumat, diskreetin jakauman käsittely pistetodennäköisyysfunktion avulla (sekä yksi- että moniulotteisissa tapauksissa), jatkuvan jakauman käsittely tiheysfunktion avulla (sekä yksi- että moniulotteisissa tapauksissa), muuttujanvaihtokaava tiheysfunktiolle (sekä yksi- että moniulotteisessä tapauksessa), moniulotteisen jakauman odotusarvo sekä kovarianssimatriisi, ehdollinen jakauma sekä ehdollinen odotusarvo, kaksiulotteisen jakauman hierarkkinen määrittely reunajakauman sekä ehdollisen jakauman avulla, moniulotteinen normaalijakauma, suurten lukujen laki, keskeinen raja-arvolause sekä eräät näihin tuloksiin perustuvat approksimaatiot.  

Esitietovaatimukset: seuraavien kurssien tiedoista on paljon hyötyä, mutta niistä tarvittavat asiat kerrataan kurssilla joka tapauksessa

  • 57045 Todennäköisyyslaskenta I, jossa annetaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta pääasiassa tapahtumien ja yksiulotteisten jakaumien näkökulmasta
  • 57121 Vektorianalyysi I ja 57122 Vektorianalyysi II (ja niitä edeltävät matematiikan kurssit)


Ajankohtaista

 

  • Hei! tiistaina 6.12. ei järjestetä laskuharjoituksia. Tuolloin normaalisti laskuharjoituksiin osallistuvat voivat vierailla loppuviikon harjoituksissa tai laittaa vastauksensa sähköpostilla laskuharjoituksen pitäjälleen (etunimi piste sukunimi (at) helsinki piste fi).
  • Hei! Pyytäisin niitä, jotka haluaisivat osallistua 2. kurssikokeen korvaavaan kokeeseen keskiviikkona 14.12. ja jotka eivät ole jo ilmoittautuneet, laittamaan s-postia minulle (Petteri) viimeistään maanantaina 5.12 klo 12 mennessä. Pyytäisin myös niitä, jotka tuntevat halukkuutta uusia 1. kurssikoe keskiviikkona 14.12. laittamaan tämän/ensi viikon aikana s-postia minulle (Petteri) halukkuudestaan viimeistään maanantaina 5.12. klo 12 mennessä. Ensisijaisesti uusintamahdollisuus on varattu niille, jotka eivät lainkaan päässeet 1. kurssikokeeseen sekä niille joiden "päivän kunto" ei osunut kohdalleen eli noin alakvartaaliin sijoittuneille. Laitan tietoa apuvälineistä myöhemmin.
  • Hei! Kurssikokeen tulokset löytyvät nyt sivulta Koetulokset. Alla olevan ilmestymisajan T reaalisaatio T(ω) oli siis n. 26,17.
  • Hei! Ensimmäisen kurssikokeen tarkistus lähestyy valmistumistaan (tämän hetken tilanne n. 98 %). Laitan tiedon tänne sekä presemoon, kun tulokset ovat  sivulla Koetulokset. Arvioni siitä, milloin tämä tapahtaa voidaan kuvata seuraavan satunnaismallin mukaisesti. Oletetaan, että T = "kurssikokeen tuloksen ilmestymisajankohta (tunneissa) kun nollahetki on ma 14.12. klo 9:30 paikallista aikaa" on jatkuvasti jakautunut sm. Kerron heti, että T > 0 tn:llä 1, sm:llä T on äärellinen varianssi ja ET = 8 sekä var T = 25.
    1. Kannattaa pohtia kysymyksiä: mitä voidaan sanoa seuraavista arvioista todennäköisyyksille P(T < 14,5) ≥ ?, P(T ≥ 14+24) ≤ ?, P(T ≥ 14 + 2 * 24) ≤ ? ja mitä nämä arviot kertovat? Voiko tämän tiedon avulla sanoa, että tn:llä 1 tulokset julkaistaan vielä tämän vuoden aikana (smile) ?
    2. jos lisäksi kerron, että T:llä on kaikki momentit olemassa, voiko silloin sanoa että tulokset julkaistaan tn:llä 1 tämän vuoden aikana (smile) ?
    3. jos vielä lisäksi kerron, että T:n momenttiemäfunktio M_T on äärellisenä olemassa kaikilla t, ja lisäksi kerron arvion M_T (t) ≤ 3004 exp(47t) / (t^3 + 2017), joka on voimassa kaikilla t > 0, niin auttaako tämä tuon tn:llä 1 kysymyksen kanssa? (smile)
  • Hei! Järjestän sekä 1. että 2. kurssikokeen korvaavat kokeet keskiviikkona 14.12. laitostentin yhteydessä. Halukkaille pyrin tuolloin myös antamaan 1. kurssikokeen uusintamahdollisuuden, mutta ilmoittautumisia voitte laittaa s-postilla vasta kun olen saanut kurssikokeen 28.10. arvosteltua (tarkistustilanne tällä hetkellä n. 37%).
  • Hei! Korvaavasta kokeesta myös 1. kurssikokeen kohdalta on tullut sairastumisten takia kysymyksiä. Näillä näkymin järjestän sekä 1. että 2. kurssikokeen korvaavat kokeet keskiviikkona 14.12. laitostentin yhteydessä, sillä tämä on ainoa sopiva aika, mutta laitan tarkemmin tietoa ja vahvistuksen näille ensi viikolla. Tähän mennessä 2. kurssikokeen korvaavaan kurssikokeeseen ilmoittautuneista kaikille kävi 14.12. mutta usealle ei 11.1. käynyt. Katsotaan myös uusintakysymysten tilannetta (ja tarvetta) marraskuun loppupuolella.
  • Moni on kysellyt 2. periodin laskuharjoitusten alkamisajankohtaa. Seitsemännet harjoitukset laitan kurssisivulle tiistaina 1.11. ja ne käsitellään laskuharjoituksissa tiistai 8.11.- perjantai 11.11.
  • Moni on kysellyt toisen kurssikokeen korvaavasta ylimääräisestä kurssikokeesta, koska osalle on mahdotonta osallistua kurssikokeeseen tiistaina 20.12. Korvaavan kokeen voi järjestää joko 14.12. tai 11.1. laitostentin yhteydessä (kts. tarkka aika tenttisivulta). Laitathan minulle (Petteri) s-postia, sopivatko nuo päivät ja kumpi sopisi paremmin, jotta voin valita parhaiten sopivan ajan noista vaihtoehdoista. Huom! Tämä ei ole tarkoitettu uusintamahdollisuudeksi vaan ylimääräinen kurssikoe on tarkoitettu niille, jotka eivät pysty osallistumaan 20.12. toiseen kurssikokeeseen. Myöskään tähän ylimääräiseen kokeeseen ei ilmoittauduta oodin kautta vaan s-postilla minulle.
  • Hei. Jos haluat tehdä kurssikokeen ruotsiksi ja haluat tehtäväpaperin myös ruotsiksi, laita minulle (Petteri) s-postia viimeistään keskiviikon 19.10. luentoihin mennessä. Varaudun noin 10 ruotsinkieliseen kokeeseen joka tapauksessa.
  • Hei. Yritän pikkuhiljaa lisäillä kurssisivulle esimerkkejä sekä esimerkkilaskuja, jotka vaihtelevat helpoista vähemmän ilmeisiin. Tämä auttanee varsinkin, jos luennolla esimerkit ovat jääneet vähäisiksi. Pyrin lisäämään myös luennoilla käydyt esimerkit kurssisivulle. Lisää esimerkkejä voi toivoa vaikka presemon kautta.
  • Hei. Maanantaina 5.9. on yliopiston avajaispäivä, joten luennot maanantaina 5.9 järjestetään klo 10.15 alkaen lyhennettyinä, jotta kaikki halukkaat ennättävät keskustan avajaistapahtumiin, jotka alkavat klo 12.
  • Hei. Päivitän sivuja "koko" ajan, joten kannattaa käydä katsomassa jos muutoksia on tullut.

Sähköiset työalueet

Kurssilla on käytössä presemoalue. Kurssin presemoalue löytyy osoitteesta

http://presemo.helsinki.fi/ppluento

Presemossa voi esittää anonyymisti lyhyitä kysymyksiä ja kommentteja. Seuraan presemossa käytävää keskustelua myös luentojen aikana. Luennoilla käytävä keskustelu on tärkeä osa kurssin opiskelua ja presemo tarjoaa siihen anonyymin lisämahdollisuuden.

Presemon keskustelua

Presemon keskustelu häviää pikkuhiljaa näkyvistä alkupäästä. Seuraavassa on keskustelu tähän saakka ryhmiteltynä (kutakuinkin, pieniä virheitä kopioinnissa voi aina olla (smile) ) harjoitusten mukaan ja aikajärjestyksessä (vanhin kommentti ensin, uusin viimeisenä). Päivitän näitä pikkuhiljaa keskustelun edetessä.

Opetusajat

Luennot viikoilla 36-42 ja 44-50 ma klo 10-12 ja ke klo 12-14 auditoriossa CK112. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Kokeet

  • 1. kurssikoe pe 28.10. klo 12.15-14.45 Exactumin auditorioissa A111 ja B123
  • 2. kurssikoe ti 20.12. klo 11.15-13.45 Exactumin auditorioissa
  • Lisäksi 1. kurssikoe sekä 2. kurssikoe järjestetään ke 14.12. klo 16.15-18.45 Exactumin auditorioissa

Kurssikokeen kesto on 2,5 h. Erilliskokeista poiketen näissä kurssikokeissa on seuraavat sallitut apuvälineet:

  1. kurssikokeessa sallitut apuvälineet ovat 1) laskin sekä 2) lunttilappu. Lunttilapun pitää olla itse laadittu ja käsinkirijoitettu (eli ei tietokoneella tulostettu), eikä sillä ole muita rajoituksia kuin sen koko: yksi A4-kokoinen arkki (molemmat puolet saa käyttää).
  2. kurssikokeen apuvälineistä ilmoitan myöhemmin tarkemmin täällä

 

Lisätietoja ensimmäisestä kurssikokeesta

  • Ratkaisuehdotuksia (lue: tämä ei ole malliratkaisu) 1. kurssikokeeseen (28.10.2016). Jos huomaatte niissä jotain outoa, niin presemoon voi laittaa niistä kysymyksiä. Tarkastus on vasta aluillaan, joten aikaa menee vielä aika tovi. Päivitän tilannetietoja tänne.
  • Ensimmäinen kurssikoe on pe  28.10. klo 12.15-14.45 (jossakin auditorioista)
  • Ensimmäisessä kurssikokeessa sallitut apuvälineet ovat 1) laskin sekä 2) lunttilappu. (MAOL-taulukoita ei sallita.) Lunttilapun pitää olla itse laadittu ja käsinkirijoitettu (eli ei tietokoneella tulostettu), eikä sillä ole muita rajoituksia kuin sen koko: yksi A4-kokoinen arkki (molemmat puolet saa käyttää).
  • Koealue: monisteen luvut 1-5. Harjoitukset 1-6. Kertaustehtäviäkin kannattaa laskea, sillä ne sisältävät vanhoja kurssikoekysymyksiäkin (kysymys T2/2011 (kertaustehtävä 21), T2/2015 (lähes) (kertaustehtävä 5, ainoa ero kysymykseen T2/2015:ssä Y ~ U(0,1)), T3/2015 (kertaustehtävä 23) ja T4/2015 (kertaustehtävä 24). Niiden ratkaisuehdotuksiin kannattaa myös perehtyä, mutta huom. kaikki ratkaisutavat käyvät. Ei ole yhtä malliratkaisua.
  • Arvostelusta: käytän arvionnissa perusperiaatetta "palkitse onnistumisista". Tämä tarkoittaa käytännössä, että vaikka tehtävän ns. lopputulos olisi näennäisesti varsin "etäällä" optimisuorituksen lopputuloksesta, voi pisteitä tulla silti paljon. Vastaavasti vaikka lopputulos olisikin oikea, niin onnistumisia voi olla vähänkin (esim. laskin antaa suoraan vastauksen). Eli: kerro aina mitä olet tekemässä (smile) tämä kannattaa vaikka tehtävää et osaisikaan loppuun asti.
  • Arvostelusta: tämä tosin hidastaa arvostelua, joten aikaa menee muutama viikko arvosteluun.
  • Kokeessa ei kysytä seuraavia asioita:

    • Jakson 2.9 loppu (alaotsikosta Täydentäviä huomautuksia lähtien): kf:n yleistetty käänteisfunktio; jakauman kvantiilin määrittely yleisessä tapauksessa. Siihen kohtaan asti jakso 2.9 sisältö on kurssin keskeistä sisältöä.

    • Lause 2.13 jaksossa 2.10.

    • Jakso 4.8 (karakteristinen funktio).

    • Jakson 4.7 kalvojen log-normaaliesimerkki (ja yleensäkin täydentävät huomautukset)

    • Jakso 5.1.4: negatiivisen binomijakauman ominaisuuksien selvittäminen binomisarjan avulla

    • Jakso 5.2: beetafunktion esittäminen gammafunktion avulla.

    • Lauseitten todistuksia eikä muutenkaan todistustehtäviä
    • mittaintegraaliin liittyviä keskusteluja
  • Muuta lisätietoa kokeeseen valmistautumisesssa:

    • Opettele seuraavat jakaumat niin, että osaat kirjoittaa niiden ptnf:n tai tf:n ja osaat johtaa sujuvasti niiden ominaisuuksia (kuten odotusarvon ja varianssin).

      • Bernoullin jakauma ja binomijakauma.

      • geometrinen jakauma

      • Poissonin jakauma

      • välin (a,b) tasajakauma

      • eksponenttijakauma

      • normaalijakauma

      • Myös muita jakaumia saattaa tehtävissä esiintyä, mutta silloin ne karakterisoidaan tehtävänannossa

    • Kannattaa kerrata harjoitustehtäviä ja kysyä, jos jokin kohta tehtävissä on jäänyt epäselväksi

    • Varmista että tiedät tn:n peruslaskusäännöt ja ehdollisen tn:n käsitteen ja osaat laskea niihin liittyviä tehtäviä

    • Varmista että tiedät ptnf:n, tf:n, kf:n ja kvantiilifunktion käsitteet.
    • Varmista että tunnistat jatkuvan ja diskreetin jakauman kf:stä ja osaat laskea muunnoksien jakaumia (ptnf:iä, kf:iä ja tf:iä)
    • Varmista että tiedät odotusarvon ominaisuuksia (lause 4.3), osaat (ainakin periaatteessa) muunnoksen odotusarvon (lause 4.5)

    • Varmista että tiedät riippumattomuuden käsitteen ja osaat käyttää sitä apuna tulon odotusarvon laskemisessa

    • Varmista että tiedät varianssin ja kovarianssin käsitteet sekä niiden ominaisuuksia ja osaat laskea niihin liittyviä tehtäviä

    • Varmista että tiedät momenttien käsitteet ja tiedät momenttiemäfunktion määritelmän ja osaat laskea pari ensimmäistä momenttia momenttiemäfunktion avulla

  • Tee laskuissa järkevyystarkistuksia:

    • onko laskemani tn p välillä 0 <= p <= 1? (Tiedämme, että tapahtuman todennäköisyys toteuttaa tuon aina)

    • onko laskemani varianssi varmasti >= 0? (Varianssi on sm:n (X-EX)^2 odotusarvo, joten se on aina ei-negatiivinen)

    • onko laskemani ei-negatiivisen satunnaismuuttujan odotusarvo varmasti >= 0? (edellisen kohdan yleistys (smile))

    • onko laskemallani kertymäfunktiolla kertymäfunktion ominaisuudet?

    • onko johtamani tiheysfunktio varmasti >= 0?

  • Jos törmäät laskussa hankalaan kohtaan ja joudut aikapulaan, niin selosta koepaperissa, millä strategialla olet laskua laskemassa. Hyvästä strategiasta voi saada suuren osan jaossa olevista pisteistä.

  • kysymyksiä voi (ja kannattaa tehdä) presemon kautta. Pidempiäkin vastauksia voin antaa (mitkä kirjoitan käsin (tai LaTeXilla), laitan tänne linkin ja kerron siitä presemossa)
  • Luennolla tarkasteltiin vanhaa kurssikoetta vuodelta 2011 ja tässä lyhyitä   ratkaisuehdotuksia niihin (korjattu presemossa huomattu laskuvirhe kohdassa 1b).

Pisteytys

Jos suoritat kurssin kurssikokeilla, niin voit saada laskuharjoitustehtävien ratkaisuista lisäpisteitä koepisteiden lisäksi. Jotta saisit suoritettua kurssin kurssikokeilla, sinun pitää saada kummastakin kurssikokeesta vähintään kolme pistettä. Lisäksi kurssikokeiden (a 24 pistettä) pisteiden sekä lisäpisteiden summan pitää yhteen laskettuna olla (alustavasti) vähintään 22.

  • Laskuharjoituksista saa lisäpisteitä (max 7 pistettä.)
  • Laskuharjoituksista saa pisteitä seuraavasti: 20% = 1p; 30% = 2p; 40% = 3p; ...; 70% = 6p; 80% = 7p.

Kurssimateriaali

Luentokalvot

Luentokalvot (näitä päivitellään luentojen aikana) luvuittain:

  • Johdanto (lisätty: 5.9.2016)
  • Luku1 (lisätty: 5.9.2016, päivitetty: 7.9.2016)
  • Luku2 (lisätty: 12.9.2016, päivitetty viimeksi: 21.9.2016: numeroidut määritelmät ja lauseet)
  • Luku3 (lisätty: 21.9.2016, päivitetty viimeksi: 28.9.2016: muutamia luennoilla huomattuja painovirheitä korjattu)
  • Luku4 (lisätty: 28.9.2016, päivitetty: 12.10.2016)
  • Luku5 (lisätty: 12.10.2016,  päivitetty: 17.10.2016)
  • Luku6 (lisätty: 28.10.2016, luento: 31.10.2016 tauluteksti, luento: 2.11.2016 tauluteksti)
  •  Luku7 (lisätty kokonaan: 14.11.2016, päivitetty: 18.11.2016: luennolla huomattu painovirhe korjattu)
  • Luku8 (lisätty: 18.11.2016)
  • Luku9 (lisätty: 27.11.2016)
  • Luku10 (lisätty: 4.12.2016)
  • Luku11 (lisätään: 7.12.2016)

Huom! Luentokalvoihin tulee toisinaan korjauksia tai lisäyksiä, siksi laitan mukaan aina myös viimeisen muokkausajan. Joten kannattaa ennen lukemista hakea uusin versio.

Muuta luennoilla käytettyä materiaalia

Esimerkkejä ja esimerkkilaskuja

Tähän lisään (myös pyynnöstä) esimerkkejä luentojen seuraamisen ja tehtävien tekemisen tueksi.

Opetusmoniste

Opetusmoniste pysyy samana kuin viimeiset vuodet (jos muokkaan niitä, niin lisään muutokset näkyviin (smile))

Petri Koistinen: Todennäköisyyslaskenta, Osa 1 (luvut 1–5), Osa 2 (luvut 6-11)

Luentopäiväkirja

Tähän kirjataan, mitä luennolla on tarkoitus käsitellä ja myös mitä on käsitelty. Kyseisiin monisteen (sekä kalvojen) jaksoihin on syytä tutustua ennen luentoa.

Luennon jälkeen päivitän päiväkirjaan tarkemmin, mitä luennolla oikeasti käsiteltiin.

Periodi I (5.9.-23.10)

Viikko 36:

  • ma 5.9. Johdantoa; monisteen jaksot 1.1-1.3.
  • ke 7.9: monisteen jaksot 1.4-1.7.

Viikko 37:

  • ma 12.9: monisteen jaksot 1.8 ja 2.1-2.3.
  • ke 14.9: monisteen jaksot 2.3-2.7.

Viikko 38:

  • ma 19.9: luvun 2 kertaus ja monisteen jaksot 2.8-2.9
  • ke 21.9: simulointiesimerkki ja monisteen jakso 2.10

Viikko 39:

  • ma 26.9: yhteenveto luvuista 1 ja 2 sekä monisteen jaksot 3.1-3.4
  • ke 28.9: monisteen jaksot 3.3-3.6

Viikko 40:

  • ma 3.10: monisteen jakso 3.5 ja monisteen jaksot 4.1-4.4.
  • ke 5.10: monisteen jaksot 4.4.-4.6

Viikko 41:

  • ma 10.10: monisteen jaksot 4.6.-4.7
  • ke 12.10: momenttiemäfunktiot ja monisteen luku 5

Viikko 42:

  • ma 17.10: monisteen luku 5 loppuun
  • ke 19.10: kertausta

Viikko 43 (koeviikko)

  • pe 28.10. Ensimmäinen kurssikoe

Periodi II (31.10.-18.12)

Viikko 44:

  • ma 31.10: monisteen lukua 6
  • ke 2.11: monisteen lukua 6

Viikko 45:

  • ma 7.11: pari epäyhtälöä ja monisteen lukua 7.1
  • ke 9.11: monisteen lukuja 7.1-7.4 sekä 7.7

Viikko 46:

  • ma 14.11: luvun 7 kertaus sekä monisteen luvut 7.4-7.7
  • ke 16.11: monisteen luvut 7.6-7.8

Viikko 47:

  • ma 21.11: monisteen luku 7.8 (7.9) ja monisteen lukua 8
  • ke 23.11: monisteen luku 8

Viikko 48:

  • ma 28.11: monisteen luvun 8 esimerkit ja monisteen luku 9
  • ke 30.11: monisteen luku 9

Viikko 49:

  • ma 5.12: moninsteen luku 9 loppuun ja monisteen lukua 10
  • ke 7.12: monisteen luku 10

Viikko 50:

  • ma 12.12: monisteen luku 10 sekä hieman lukua 11
  • ke 14.12: kertausta, vanha kurssikoe ja niin edelleen

Viikko 51 (koeviikko)

  • ti 20.12 Toinen kurssikoe

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset

Harjoitustehtävät

  • Tehtävät 1 (lisätty: 6.9.2016)
  • Tehtävät 2 (lisätty: 13.9.2016)
  • Tehtävät 3 (lisätty: 21.9.2016)
  • Tehtävät 4 (lisätty: 28.9.2016)
  • Tehtävät 5 (lisätty: 5.10.2016)
  • Tehtävät 6 (lisätty: 12.10.2016, huipukkuus oli tässä englanniksi "kurtosis". Myös "excess kurtosis" käännetään tyypillisesti suomeksi huipukkuudeksi)
  • Kertaustehtäviä (lisätty: 19.10.2016)
  • Tehtävät 7 (lisätty: 31.10.2016, nämä käsitellään harjoituksissa siis 8.-11.11.2016)
  • Tehtävät 8 (lisätty: 8.11.2016)
  •  Tehtävät 9 (lisätty: 16.11.2016, muokattu: 18.11.2016: tehtävästä 2 puuttuu oletus: "tason pisteet (x_i,y_i) ovat erillisiä")
  • Tehtävät 10 (lisätty: 23.11.2016, muokataan: 28.11.2016: tehtävästä 1 puuttuu oletus: "sm:lla h(X) on äärellinen toinen momentti")
  • Tehtävät 11 (lisätty: 30.11.2016)
  • Tehtävät 12 (lisätty 7.12.2016)
  • Kertaustehtäviä: (lisätään 8.12.2016 mahdollisesti lisää myöhemmin)

Ratkaisuehdotukset

Harjoitusryhmät

RyhmäPäiväAikaPaikkaPitäjä
1.ti 8-10 B322 Joonas Nuutinen 
2.ti 12-14 B322 Aku Leivonen 
3.ti 16-18 B321 Aku Leivonen 
4.ke 8-10 B322 Topias Tolonen 
5.to 16-18 B322 Topias Tolonen 
6.pe 8-10 B322 Joonas Nuutinen 

Palautetta kurssista

Matematiikan ja tilastotieteen laitoksella on käytössä jatkuva palautteen keruu eli voit antaa palautetta missä tahansa kohdassa kurssia. Palautelomakkeeseen pääset täältä.

 

  • No labels